Енё Кальмар начал свою футбольную карьеру в конце 1920-х годов в венгерском клубе «Хунгария», где играл на позиции полузащитника или нападающего. Он быстро стал заметной фигурой в команде благодаря мощным и точным ударам с дальнего расстояния. В сезоне 1928/29 Кальмар стал лучшим бомбардиром своей команды с 19 мячами и был признан лучшим футболистом Венгрии. В том же сезоне «Хунгария» стала чемпионом страны.

Однако уже осенью 1929 года Кальмар получил тяжёлую травму — перелом ноги, из-за которого он выбыл из строя почти на год. Несмотря на это, он смог восстановиться и продолжил карьеру. В 1932 году он вновь стал чемпионом Венгрии и завоевал Кубок страны, забив один из голов в финальной переигровке против «Ференцвароша».

В 1933 году Кальмар покинул Венгрию и уехал во Францию, где стал игроком клуба «Экссельсьор» из Рубе. В первом же сезоне команда заняла пятое место в чемпионате Франции. Хотя в последующие годы клуб не претендовал на медали, Кальмар оставался одним из лидеров. В сезоне 1935/36 он перешёл в другой клуб из того же города — «Рубе», с которым вышел во второй дивизион, заняв второе место. После этого он перешёл в «Реймс», а затем вернулся в Венгрию, где стал играющим тренером клуба «Киштекс», представлявшего текстильную фабрику в Кишпеште.

В составе сборной Венгрии Кальмар дебютировал в октябре 1928 года в матче против Австрии. Первый гол за национальную команду он забил в сентябре 1929 года в игре с Чехословакией. После травмы он пропустил два года, но с 1931 вновь начал играть за сборную. Однако после отъезда во Францию он больше не мог выступать за Венгрию, поскольку правила того времени запрещали выступления в сборной игрокам, покинувшим национальный чемпионат. В общей сложности он провёл 15 матчей за сборную и забил 4 мяча. Также он играл за сборную клубов северной Франции во время своего пребывания за рубежом.

Во время Второй мировой войны Кальмар совмещал работу в «Киштексе» с должностью ассистента в штабе национальной сборной Венгрии. После войны он возглавил клуб «Чепель» и привёл его к чемпионству в сезоне 1947/48. В 1951 году он стал главным тренером клуба «Гонвед», в составе которого выступали легенды венгерского футбола — Ференц Пушкаш, Шандор Кочиш, Йожеф Божик и Золтан Цибор. Под руководством Кальмара «Гонвед» трижды становился чемпионом Венгрии.

В 1956 году команда «Гонвед» отправилась в Испанию на матч против «Атлетик Бильбао». В это время в Венгрии начались политические волнения, и команда приняла решение не возвращаться на родину. После этого футболисты организовали турне по Южной Америке. По возвращении в Европу команда распалась, а Кальмар оказался без работы.

Он уехал в Австрию, где претендовал на пост главного тренера сборной, однако его кандидатура была отклонена. В марте 1957 года он возглавил венский «Ваккер» и привёл его к четвёртому месту в чемпионате страны. В 1958 году Кальмар перебрался в Испанию, где на тот момент играли многие венгерские футболисты, покинувшие родину.

Первым испанским клубом Кальмара стала «Севилья», но проработал он там всего несколько месяцев. Затем он возглавил «Гранаду», которую сенсационно вывел в финал Кубка Испании. В решающем матче команда уступила «Барселоне» со счётом 1:4, при этом два гола в ворота «Гранады» забил Шандор Кочиш — бывший подопечный Кальмара по «Гонведу».

После испанского этапа карьеры Кальмар отправился в Израиль, где тренировал клуб «Хапоэль», с которым выиграл Кубок страны. Затем он работал в Португалии с «Порту», заняв второе место в национальном чемпионате. Также тренировал шведский «Хальмстад» и несколько испанских клубов, включая «Эспаньол».

Кальмар считается одной из ключевых фигур в венгерском и европейском футболе середины XX века. Его карьера охватывала бурные и переломные моменты истории — от довоенной Европы до послевоенного рассеяния венгерских звёзд. Он оставил заметный след как на родине, так и за рубежом, работая с целой плеядой выдающихся футболистов своего времени.